MATEMÁTICAS
(NIVEL MEDIO)
CLAUDIA
PARRA MARTÍNEZ
BACHILLERATO
INTERNACIONAL
ÍNDICE:
1. Biografías de matemáticos:
1.1. Euler
1.2. Cauchy
1.3. Leibniz
1.4. Newton
1.5. Gauss
2. V Postulado de Euclides
3. Teoría de cantor de los números transfinitos
4. Paradoja de Russell
5. Teorema de incompletitud de Gödel
6. La conjetura de Goldbach
7. La sucesión de Fibonacci y número áureo
8. Fractales
9. Números primos
10. Teoría de grafos
1. BIOGRAFÍAS
DE MATEMÁTICOS
1.1. EULER
Leonhard Paul Euler,
nació el 15 de abril del año 1707 en Basilea, Suiza, y falleció el 18 de
septiembre de 1783 en San Petersburgo, Imperio Ruso.
Euler fue un importante matemático y físico conocido por
introducir un gran número de términos para la notación matemática y por sus
numerosos descubrimientos matemáticos y físicos entre los que destacan el número
de Euler (e), la identidad de Euler, la teoría de números,
etc., entre otras cosas. Algunos de los aportes matemáticos más importantes que
realizó Euler fueron:
·
EL NÚMERO DE EULER (e): Éste es un numero
irracional (con decimales infinitos) cuya parte decimal es no periódica. Es el
único número que puede permitir que un logaritmo natural sea igual a 1. El número de Euler equivale a 2, 71828… y se
emplea para llevar a cabo diversos aspectos relacionados con las matemáticas y
la física.
Euler no fue la primera persona en trabajar
con este número. Una de las personas más importantes en este campo fue el
matemático Jacob Bernoulli, quien, en el año 1683, demostró que un número no
podía crecer infinitamente y que el número de Euler siempre es mayor que 2 y
menor que 3: e>2 e<3
Sin embargo, este número recibe este nombre
ya que fue Leonhard Euler quién lo dio a conocer en el libro Introducción al
análisis del infinito publicado en el año 1748.
Bernoulli fue la primera persona en
calcular el número e. Como resultado, obtuvo la fórmula: (1+1/n)n
Euler también demostró que el número de
Euler se podía calcular como:
e=
1 + 1/1 + 1/1∙2 + 1/ 1∙ 2∙3…
· LA IDENTIDAD DE EULER: ei π + 1=0
también conocida como la fórmula más hermosa
del mundo, recibe este nombre por la aparición de algunos de los números fundamentales
de las matemáticas, como lo son los números 1, 0, el número i (base de los
números imaginarios) (√-1), el número π y el número de Euler. Esta identidad vincula
diversas áreas de las matemáticas y la física.
La fórmula del comienzo, es uno de los casos
particulares de la verdadera identidad de Euler que ocurre cuando sustituyes la
X por el número π.
La fórmula original: ei x= cos (x)
+ i sen (x)
Que
cuando x= π el resultado es: ei π = -1
O
lo que es lo mismo: ei π + 1=0
https://www.youtube.com/watch?v=B0Rc7lL6QUg
LA
IDENTIDAD DE EULER: la fórmula más bonita del mundo - YouTube
1.2. CAUCHY
Augustin Louis Cauchy nació en París, Francia, en el año
1789, y falleció en este mismo país en la ciudad de Lyon en 1857. Fue un
prestigioso matemático, además de formar parte de la Academia de Ciencias de
Francia y de ser profesor en la Escuela politécnica, misma escuela en la que
estudió.
Cauchy trabajó en diversos campos de las matemáticas y llevó
a cabo numerosos descubrimientos, como lo fue el teorema de Cauchy.
·
EL TEORMEA DE CAUCHY: postulado también conocido
como teorema del valor medio generalizado, defiende que si dos
trayectorias distintas comparten dos puntos y una función es holomorfa entre
dos trayectorias, las integrales de la trayectoria serán iguales.
Según este teorema, contamos con
dos funciones F y G, las cuales son continuas en un intervalo cerrado, y
derivables en un intervalo abierto. Por lo tanto, hay algún valor x en el
intervalo abierto para el cual MF G’(x) = mG F’ (x)
Este teorema proviene del teorema
de Rolle, donde, una función continua en un intervalo cerrado, y derivable
en un intervalo abierto, obtienen valores en sus extremos que coinciden.
Gracias al teorema de Cauchy,
se pudo demostrar la regla de l’Hôpital. En ella está la clave para salvar
las indeterminaciones que dan como resultado de reemplazar el valor numérico de
funciones. Según esta regla, el numerador y el denominador se derivan
individualmente.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_integral_de_Cauchy
http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/bach/actividades/funciones/derivadas_integrales/teorema_cauchy/actividad.html#:~:text=La%20hip%C3%B3tesis%20de%20este%20teorema,mG%20F'(x)
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital#:~:text=La%20regla%20de%20l'H%C3%B4pital%20se%20aplica%20para%20salvar%20indeterminaciones,)%2Fg'(x).
1.3. LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm
Leibniz fue un relevante filósofo, matemático, teólogo y político, entre otras
formaciones, nacido en el año 1646 y fallecido en 1776. Es conocido por ser el
“último genio universal”, es decir, la última persona que pudo formarse en
todos los campos del conocimiento.
·
CÁLCULO INFINITESIMAL: este fue uno de los
campos matemáticos donde Leibniz investigó, al igual que Newton.
El cálculo infinitesimal es una importante
rama de las matemáticas que nos permite estudiar los cambios continuos sobre
los discretos y los movimientos. Es una reformulación matemática de ciertos
conceptos elementales mediante el límite.
Gracias al cálculo infinitesimal, podemos
calcular, por ejemplo, la pendiente de una curva, o la longitud de una curva.
Se divide en dos grupos:
1.
El cálculo diferencial, donde se estudia el
cambio de las funciones continuas según como sus variables cambian de estado, como,
por ejemplo, al calcular la pendiente de una recta tangente de una curva en un
punto.
2.
El cálculo integral que se centra en el estudio
de antiderivadas, integrales y series infinitas, y en estudiar el área debajo
de una curva.
https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz#Matem%C3%A1ticas
https://www.galileo.edu/trends-innovation/que-es-calculo/
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
https://www.youtube.com/watch?v=wW3uZcWFdsk
1.4. NEWTON
Isaac Newton (nacido en 1642 y fallecido en 1643 en
Inglaterra) es considerado como uno de los físicos y matemáticos más
importantes de la historia.
Además de ser matemático y físico, también se dedicó a la
teología, filosofía y la invención y formó parte del centro científico de la
Royal Society; sin embargo, se le conoce notoriamente gracias a su contribución
en el estudio del cálculo infinitesimal, junto con Leibniz, y por
desarrollar las leyes de la gravitación, las leyes de la dinámica y
de la cinemática, además de la teoría corpuscular de la luz, entre
otros hechos.
·
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL: Se dice que, en
el año 1666, Newton descansaba debajo de un árbol, un manzano, del cual uno de
sus frutos se desprendió de la rama y cayó al suelo. Esto le hizo pensar a
Isaac el motivo de porque cuando los cuerpos caen lo hacen de forma
perpendicular al suelo y no hacia un lado o hacia arriba. Gracias a este hecho,
Newton desarrolló la teoría de la gravitación universal en la que defiende que
todos los cuerpos que tienen masa, se atraen con una fuerza directamente
proporcional al producto de sus masas. A esta fuerza, la denominó fuerza de
gravedad.
TEORÍA CORPUSCULAR DE
LA LUZ: esta teoría, la cual forma parte de la rama de la óptica dentro de la
física, fue desarrollada por Newton cuando logró demostrar que la luz blanca
estaba formada por todas las longitudes de onda dentro del espectro visible, por
todos los colores, que se podían descomponer con la ayuda de un prisma de cristal.
Gracias a ello, descubrió que la luz se propagaba de forma recta y no mediante
ondas, como se creía en la época, aunque, a día de hoy, se ha demostrado que la
luz tiene un comportamiento dual, siendo una onda y partículas a la vez.
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://www.youtube.com/watch?v=9yH_LiONXEo
1.5. GAUSS
Johann Carl Friedrich
Gauss (1777, Alemania- 1855, Alemania), fue un matemático, astrónomo y físico,
quien es considerado por algunos como el mejor matemático de todos los tiempos,
y que también formó parte de la academia de la Royal Society. Gracias a sus
diversas contribuciones e investigaciones fue galardonado con numerosos premios
como el Premio Lalande y la Medalla Copley.
Un hecho muy curioso de Gauss, es que cuando era niño y
estaba en la escuela, su profesor preguntó a los alumnos que trataran de sumar:
1+2+3+4+5…+100, lo más rápido que pudiesen. El único que lo logró fue Johann
Carl quien, en tan solo unos minutos, respondió la pregunta con el resultado de
5050 ya que dedujo que la suma entre 1+100 era igual a 101, al igual que la
suma entre 2+99 y así sucesivamente, así que lo único que tuvo que hacer fue
multiplicar 50 por 101 dándole como resultado 5050.
Gauss, tuvo un papel muy importante en el estudio de, por
ejemplo, la teoría de los números, el análisis matemático, la
estadística, la óptica, etc.; sin embargo, dos de sus obras más prestigiosas y
reconocidas a día de hoy son el teorema de la divergencia y la Ley de
Gauss.
·
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA: también conocido como
teorema de Gauss, defiende que el flujo de un campo eléctrico a través
de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada
dividido entre épsilon subcero:
Se puede emplear para calcular el campo
eléctrico en cualquier parte de una superficie cerrada.
·
LEY DE GAUSS: está relacionada con el teorema
de Gauss. Defiende que el flujo de algunos campos a través de una
superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes del campo que
hay en el interior de la superficie. Esta ley se emplea para calcular el campo
eléctrico cuando la distribución de la carga tiene una simetría cilíndrica,
esférica está distribuida de forma uniforme en un plano o una placa infinita.
https://vm.tiktok.com/ZMNwGE8KK/
https://www.youtube.com/watch?v=hZS4gyerfuw
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://elpais.com/elpais/2018/04/30/ciencia/1525069233_387473.html
https://www.youtube.com/watch?v=unrN0yulZBg
2. V
POSTULADO DE EUCLIDES
En el año 300 a. C., el matemático y geómetra griego
Euclides escribió un libro llamado Los Elementos, compuesto por cinco
capítulos. El quinto postulado trata la geometría euclidiana, es decir, el
estudio de la geometría y, además es, la sección más importante de este libro,
a tal punto que cualquier geometría que no la satisface, se denomina “geometría
no euclidiana”.
Los cinco postulados de Euclides, representados brevemente,
del libro Los Elementos son:
·
PRIMER POSTULADO: por dos puntos
diferentes, pasa una recta.
·
SEGUNDO POSTULADO: un segmento rectilíneo
se puede prolongar infinitamente.
·
TERCER POSTULADO: para cada radio hay una
circunferencia.
·
CUARTO POSTULADO: todos los ángulos
rectos son iguales.
·
QUINTO POSTULADO: también conocido como postulado
de las paralelas, defiende que por un punto exterior a una recta pasa una
única paralela. Este capítulo ha creado varias polémicas entre los matemáticos
debido a las opuestas opiniones de si se puede o no se puede demostrar.
Numerosos matemáticos como, por ejemplo,
Gauss, han tratado de demostrarlo en vano, ya que, hasta nuestros días, todavía
no se ha logrado evidenciar si es verdadero o falso.
De este V postulado deriva el teorema
formulado por Euclides que indica que la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo da 180º.
IMAGEN QUE REPRESENTA LOS CINCO
POSTULADOS DE EUCLIDES
https://www.matesfacil.com/matematicos/Euclides/biografia-Euclides-quinto-postulado-geometria-no-euclidea.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides#:~:text=V%20postulado%20de%20Euclides&text=Y%20que%20si%20una%20recta,%C3%A1ngulos%20menores%20que%20dos%20rectos.
https://www.youtube.com/watch?v=EPV-7cj8Ej8
3. TEORÍA
DE CANTOR DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS
Una de las ramas más importantes del campo matemático que
trata la teoría de conjuntos, la cual estudia las propiedades y
relaciones de las colecciones abstractas de objetos (conjuntos), es la
teoría de los números transfinitos, que es la base de las matemáticas
modernas.
Este teorema fue
propuesto por el matemático ruso Georg Ludwig Cantor, quién fue una de las
primeras personas en entender el concepto de “infinito” y su estudio se dedicó
a ello.
El origen de la teoría de los números transfinitos,
surgió cuando Georg Cantor se dio cuenta de que se podía medir el tamaño de un
conjunto finito y por ello, al comparar las medidas de dos o más conjuntos
infinitos podía saber cuál era el orden de mayor a menor y viceversa. A su vez,
descubrió que no se podía hablar solo de un infinito, sino que había varios.
Según Cantor, el término infinito se aplicaba a todos los
conjuntos no finitos, habiendo entre ellos, números que se pueden medir y
comparables.
El estudio de Cantor en este campo, comenzó cuando el
matemático se preguntó si era posible poner uno a uno el conjunto de números
naturales (1, 2, 3, 4…) y compararlo con otro conjunto de números (10, 20, 30,
40…). Gracias a ello, posteriormente pudo demostrar que no había diferencia
alguna entre el tamaño de ambos conjuntos, porque podemos emparejarlos
infinitamente.
Posteriormente, se cuestionó que es lo que ocurriría con las
fracciones y el resto de números reales. En este caso, Cantor encontró la forma
de emparejar el conjunto de números enteros con el conjunto de fracciones,
obteniendo el hecho de que el infinito de las fracciones es el mismo tipo de
infinito que el de los números enteros.
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transfinito#:~:text=En%20la%20teor%C3%ADa%20de%20conjuntos,mayores%20que%20cualquier%20n%C3%BAmero%20natural.
https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
https://www.youtube.com/watch?v=TUFQKN5mIWM
4. PARADOJA
DE RUSSELL
La paradoja de Russell, también conocida como paradoja
del barbero, fue afamada por el matemático y filósofo inglés Bertrand Russell
(1872-1970).
Además de sus importantes contribuciones en
el mundo de la literatura y por haber ganado un Premio Nobel por ello en 1950,
Russell también es conocido por haber desarrollado esta paradoja.
En general, el significado de una paradoja es todo aquel
razonamiento que, aunque parezca correcto, genera una contradicción.
La paradoja de Russell era una contradicción a la teoría
de conjuntos propuesta por Georg Cantor junto que Frege, ya que propuso que
no podía existir un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí
mismos como elementos. Para explicar su opinión mejor empleo el ejemplo del
barbero:
En un pueblo, hay una ley que dicta que todas las personas
deben estar afeitadas. Las personas que lo puedan hacer ellos mismos lo harán por
sí solos, pero los que no pueden, deben acudir al único barbero del pueblo. La
paradoja surge cuando el barbero se pregunta cómo se va a afeitar él, ya que,
si se afeita a sí mismo, estaría rompiendo la ley, ya que él sí puede, pero es él
barbero, y al barbero solo acuden las personas que no lo pueden hacer por sí
mismos. Por lo que, tanto si lo hace como si no, estaría rompiendo la ley.
Posteriormente trató de explicar su paradoja de manera matemática, donde
consideró que el conjunto de todos los conjuntos normales se puede formar. Es
decir, M= {x|x
no pertenece a x}.
M como conjunto será o normal (donde M le pertenece a M) o
singular (donde M no le pertenece a M).
https://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
https://www.youtube.com/watch?v=5vOrHHmojG0
https://www.youtube.com/watch?v=J-voJm6tNJY
http://laberintos.itam.mx/paradoja-de-bertrand-russell-en-teoria-de-conjuntos/
5. TEOREMAS
DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL
Kurt Gödel (1906-1978) fue un lógico, matemático y filósofo
de nacionalidad austríaca conocido por el estudio y la publicación de sus dos teoremas
de la incompletitud publicados en el año 1931.
La historia de cómo surgieron estos teoremas ocurrió cuando
el matemático Robert Hilbert propuso construir un sistema de símbolos y
procedimientos diseñado para demostrar si las afirmaciones eran verdaderas o
falsas. Él creía que se podía conseguir mediante reglas que fueran precisas y
con un numero finito de ellas; sin embargo, Gödel no estaba de acuerdo, y
consiguió demostrar su opinión con la ayuda de sus teoremas de la
incompletitud.
Los dos teoremas están relacionados con la existencia de
proposiciones indecidibles (que no se pueden demostrar) en ciertas teorías
aritméticas.
El
primer teorema de incompletitud defiende que, bajo
ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los
números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez
consistente y completa. Esto quiere decir que, hay proposiciones matemáticas
que no se pueden demostrar ni refutar, es decir, son indecibles.
Básicamente, este teorema afirmaba que cualquier teoría aritmética
recursiva que sea consistente, es incompleta.
El
segundo teorema de incompletitud proviene del
primero. Afirma que una de las sentencias irrefutables es aquella que afirma la
consistencia de la misma, es decir, que, si el sistema de axiomas es
consistente, no es posibles demostrarlo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del
https://www.youtube.com/watch?v=wMj1ULNFXqQ
6. LA
CONJETURA DE GOLDBACH
La conjetura de Goldbach es uno de los problemas sin
resolver más antiguo y complicado en el mundo de las matemáticas.Fue propuesto por el hombre que le dio el nombre, el matemático prusiano Christian Goldman (1690- 1764).
Esta conjetura fue propuesta en el año 1742 en una carta
dirigida por Christian al famoso matemático Euler y, defiende que: todo número
par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos: p+q= 2n,
donde p y q son números primos y 2n, cualquier número par mayor que 2.
No se ha conseguido demostrar si esta afirmación del
matemático Goldbach es verdadera o falsa (de ahí que se denomine conjetura), a
pesar de que numerosos matemáticos y físicos lo han intentado, entre ellos, los
ya mencionados Euler y Goldbach no se ha logrado demostrar la veracidad o
falsedad de esta conjetura. Ni siquiera se logrado con la ayuda de máquinas y
ordenadores.
A pesar de ello, numerosos matemáticos piensan que la
conjetura de Goldbach es verdadera y están trabajando en ella para encontrar
una demostración.
Goldbach también propuso otra conjetura llamada conjetura
débil de Goldbach, la cual está muy relacionada con la primera, ya que, si la
conjetura de Goldbach es cierta, esta automáticamente también lo sería.
La conjetura débil de Goldbach, afirma que: todo número
entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.
A diferencia de la primera, la conjetura débil se logró
demostrar en el año 2013 por el matemático peruano Harald Helfgott, después de
casi 300 años de haber sido propuesta.
https://tecreview.tec.mx/2021/02/20/ciencia/conjetura-de-goldbach/#:~:text=Esta%20conjetura%20dice%20que%20cada,cualquier%20par%20mayor%20que%202.
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach
https://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Goldbach
https://www.universia.net/pe/actualidad/vida-universitaria/conozca-quien-cientifico-peruano-que-resolvio-conjetura-debil-goldbach-1131025.html
https://www.youtube.com/watch?v=oCoSwlEDPeM
7. LA
SUCESIÓN DE FIBONACCI Y NÚMERO ÁUREO
Fibonacci, también conocido como Leonardo de Pisa (1170-
1250), fue un matemático italiano conocido por plantear la sucesión de
Fibonacci y el número áureo.
La famosa
sucesión
de Fibonacci, o
sucesión dorada, se define como la sucesión infinita
de números naturales y comienza con los números 0 y 1. Para continuar con la
sucesión debemos sumar estas cifras y seguir sumando los dos últimos números
progresivamente:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…
Cada uno de los elementos de esta sucesión se denominan
hijos de Fibonacci.
El número áureo (1,61803), está vinculado con la secuencia
del mismo, ya que defiende que, si divides cualquier número en la secuencia de
Fibonacci por el anterior, la repuesta siempre es cercana a 1,61803. Este es el
motivo por el cual a la secuencia de Fibonacci también se le conoce como secuencia
dorada.
Generalmente el número áureo se simboliza con la
letra phi del alfabeto griego (ϕ) y la ecuación para expresarlo es: a+b/a= a/b= ϕ ≈ 1,61803
Gracias a la sucesión de Fibonacci, Leonardo de Pisa
pudo desarrollar la espiral áurea o de Fibonacci. Esta es una
espiral logarítmica que se forma con cada uno de los elementos que conforman la
sucesión.
La espiral se forma creando cuadrados con las dimensiones de
los valores de los números de Fibonacci (55x55, 34x34…) para posteriormente
dibujar un cuarto de circunferencia en cada cuadrado y de esta manera podremos
observar que nuestros trazos crean una espiral.
Algo muy curioso sobre la espiral y, por lo tanto, la
sucesión de Fibonacci, es que aparece mucho en la naturaleza por causas
naturales (escamas de las piñas, árbol genealógico de las abejas, conchas de
caracoles, inflorescencias de numerosas flores…
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_dorada
https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/fibonacci-y-la-proporcion-aurea-geometria-divina/
https://www.bbc.com/mundo/noticias-46926506#:~:text=miles%20de%20a%C3%B1os.-,N%C3%BAmero%20%C3%A1ureo,conoce%20como%20el%20n%C3%BAmero%20%C3%A1ureo
https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI
8. FRACTALES
El término fractal
fue propuesto por el matemático de nacionalidad polaca, francesa y
estadounidense, Benoît Mandelbrot (1924-2010) en el año 1975.
9. NÚMEROS
PRIMOS
Los números primos, son números naturales mayores que 1 que
solamente tienen dos divisores positivos diferentes: el 1 y el número mismo. Lo
contrario a esta clase de números serían los números compuestos, los cuales,
además de ser divisibles entre 1, entre sí mismos, también son divisibles entre
más números naturales.
Gracias a los números primos tareas como dividir o sumar
fracciones, etc., se nos facilitan.
Las
primeras personas en estudiar formalmente este colectivo de números vivieron
durante la Antigua Grecia en el 300 a. C. con la creación de los libros de los
Elementos de Euclides, concretamente del volumen VII al IX); sin embargo,
existen numerosas evidencias de estudios sobre los números primos anteriores a
esta época e inclusa desde antes de la aparición de la escritura.
En la época de la Antigua Grecia, uno de los matemáticos más
importantes fue Eratóstenes, quien desarrollo el primer algoritmo para dar con
números primos denominado la Criba de Eratóstenes. Para dar con los números
primos, lo primero que debemos hacer es coger el número dos (el cuál es el
primer número primero y el único número primo par) y eliminar los números que,
desde el dos, dan un salto de dos en dos (4, 6, 8…). Después debemos coger el
siguiente número, el 3, y hacer los mismo, pero esta vez, eliminando los
números que dan un salto de tres en tres (6, 9, 12…), y así sucesivamente.
Siglos más tarde, en el año 1640, el francés Pierre de
Fermat creó el pequeño teorema de Fermat el cual afirma que: si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con
a>o, coprimo con p, a p-1 ≡ 1 (mod p).
Matemáticos como Euler y Leibniz
también trabajaron en el estudio de números primos.
https://concepto.de/numerosprimos/#:~:text=No%20obstante%2C%20el%20primer%20estudio,como%20la%20Criba%20de%20Erat%C3%B3stenes.
https://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat
https://www.youtube.com/watch?v=_CmsEAbgtMQ
10. TEORÍA
DE GRAFOS
En el mundo de las matemáticas, los grafos son un conjunto
de objetos vértices o nodos unidos entre sí mediante aristas. Los grafos nos
permiten relaciones binarias entre los elementos de un conjunto.
Una de las ramas de
las matemáticas que estudian las propiedades los grafos es la
teoría de
grafos.
El origen de esta teoría surgió con el estudio que realizó
el matemático Leonhard Euler en el año 1736 cuando trató de resolver el famosos
problema matemático de los puentes de Königsberg (Kalingrado), el cual,
consistía en trazar una ruta eficiente para cruzar todos los puentes de la
ciudad una sola vez y se formuló de esta manera: Dado el
mapa de Königsberg con el río
Pregel dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas
a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde
cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo solo
una vez cada uno, y regresando al mismo punto de partida?
El trabajo de Euler sobre este problema es considerado el primer
resultado de la teoría de grafos.
Otros matemáticos también han tratado es tema, como por ejemplo
Gustav Kirchhoff, quien, en 1847, empleo la teoría de grafos para analizar
redes eléctricas y calcular el voltaje y la corriente de circuitos eléctricos;
Francis Guthrie, quién planteó el problema de los cuatro colores, el cual
defiende que es posible colorear cualquier mapa de países empleando únicamente
cuatro colores y, con el objetivo de que dos países que estén juntos nunca
tengan el mismo color ;o Arthur Cayley, que empleó esta teoría para estudiar y
lograr resolver el problema de la enumeración de isómeros (compuestos químicos
con una composición idéntica pero diferente estructura molecular) en el año 1857.
https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos
https://www.unipamplona.edu.co/unipamplona/portalIG/home_23/recursos/general/11072012/grafo3.pdf
https://www.grapheverywhere.com/teoria-de-grafos/
https://www.youtube.com/watch?v=mZMJJV6jDec
https://www.youtube.com/watch?v=TG3rmeGvBNI
