Infinitos más grandes que otros
https://www.youtube.com/watch?v=TUFQKN5mIWM
Los números transfinitos de Georg Cantor
El
concepto de infinito es algo de lo
que todos tenemos alguna idea intuitiva desde pequeños, cuando se nos enseñan
los números naturales, que no parecen tener fin. En efecto, eso es infinito,
pero no todo el mundo sabe que hay infinitos más grandes que otros (como
descubrió Georg Cantor en 1873[2]).
¿Quieres saber cómo? En este post te lo intentaré demostrar de manera que lo
puedas seguir (aunque este es un tema desafiante de por sí).
Primero, algo de conjuntos
En
matemáticas, un conjunto es una colección de elementos
cualesquiera. Los conjuntos pueden ser finitos,
como {Azul, Rojo, Amarillo}, {1, 2, 3, 4, 5}, {a, b}, o infinitos, como el conjunto de todos los números naturales.
Podemos
coger elementos de dos conjuntos (A y B) y emparejarlos para tener una aplicación.
Las
aplicaciones pueden ser de distintos tipos:
[2]
|
Cada elemento de A
tiene un (y solo un) elemento de B asociado. Cada elemento de B tiene también
uno de A. Las aplicaciones
biyectivas son inyectivas y suprayectivas. |
Cada elemento de A
tiene uno asociado en B, pero no necesariamente al revés. |
Cada elemento de B
tiene uno asociado en A, pero no necesariamente al revés. |
Si
podemos formar una aplicación biyectiva entre A y B, entonces es porque tienen
el mismo número de elementos. Si no podemos formar aplicaciones inyectivas, el
tamaño de A (a partir de ahora, |A|) es menor que el de B.
El conjunto potencia
Si
tenemos un conjunto A, podemos formar un conjunto potencia P(A)
que contenga todos los subconjuntos de A. Creo que es mejor ver un ejemplo para
entenderlo:
A =
{a, b, c}
P (A) = {{Ø}, {a}, {b}, {c}, {a,
b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
P (A) contiene todas las
combinaciones de elementos de A, incluyendo todo A y el conjunto vacío Ø
(resultado de no coger ningún elemento).
Podemos
también representar un subconjunto de A con unos y ceros de esta forma:
{a, c}à
1 0 1
{b,
c} à 0 1 1
{a} à 1 0 0
La diagonal de Cantor
Teniendo
todo esto en cuenta, podemos intentar formar aplicaciones entre un conjunto y
su potencia para comprobar cuál es más grande.
A cada elemento de A le asignaremos un elemento cualquiera de P(A).
Si
aplicamos esta lógica a un conjunto
infinito como el de los números naturales ℕ,
obtenemos que el conjunto P (ℕ) es mayor que ℕ. Entonces, hemos
demostrado que existe un número infinito (|P
(ℕ)|) mayor que otro número infinito
(|ℕ|).
En matemáticas llamamos a estos números infinitos “álef” (). es el primer número transfinito, y corresponde a |ℕ|. El siguiente sería = |P (ℕ)|, que resulta ser igual al número de números reales que existen. De hecho, existen infinitos números álef, porque podemos repetir indefinidamente el argumento de la diagonal con conjuntos cada vez más grandes.
). 
= |
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